Родилась в селе Высокополье Юрьевецкого уезда. В 1939 году окончила Ивановский медицинский институт. Перед ней открылась мирная, хорошая, нужная дорога врача. Но судьба распорядилась по-иному. Уже в 1939 году она проходит переподготовку в Ленинградской военно-медицинской академии имени С. М. Кирова. И сразу же оказывается в пекле финской войны.
Вот как газета «Во славу Родины» (от 3 марта 1940 г.) писала об Анне Закваскиной: «…Идет вслед за своим полком высокая, румяная девушка в военной шинели. Зовут ее Аней Закваскиной. На практике, в бою училась она благородному мастерству военного врача. Прекрасные люди, герои, патриоты, крови своей не жалевшие для Родины, нуждались в ее помощи. Она забыла об отдыхе, о сне, об удобствах. Ей было хорошо и удобно работать при свете «летучей мыши» или свечи, где-нибудь в только что очищенном от врага полусожженном селении. Она работала, не зная устали. Приходилось Ане Закваскиной работать и на поле боя. С маленьким санитарным отрядом ползала она под пулями врага по снежному полу, склонялась над ранеными, шепча: «Ничего, ничего. Потерпи, товарищ. Сейчас тебе станет легче». Вытаскивала раненых с ноля и отправляла на пункт. Вот она идет за полком, высокая, румяная русская девушка. Шинель ладно сидит на ней, снаряжение отлично подогнано. Военный врач третьего ранга. Наш боевой товарищ».
…Не успела снять шинель Анна Михайловна — снова война, снова она «на поле боя», борется за жизнь солдат.
С 1942 по 1943 год работала в госпитале в городе Юрьевце. После расформирования госпиталя Анна Михайловна осталась в Юрьевце, работала хирургом. С 1950 по 1953 год возглавляла районную больницу. Потом работала на должности заведующей отделением хирургии, врачом-онкологом, врачом- ординатором в тубсанатории.
Где бы ни работала Анна Михайловна, всегда была аккуратна, добра, заботлива, постоянно получала благодарности от своих пациентов. Вот одна из них.
Письмо заведующей хирургического отделения Закваскиной Анне Михайловне. г. Юрьевец. 28 мая 1953 года я, Шишкарев Иван Михайлович, будучи больным, находился на излечении во вверенном вам хирургическом отделении с диагнозом прободной язвы желудка, где моя жизнь исчислялась по прибытии к вам считанными часами. Благодаря Вам и вашим медицинским работникам моя жизнь была спасена. И вот уже 28 мая 1955 года исполняется ровно два года. На протяжении всего этого времени я чувствую себя прекрасно. От всей души выношу вам глубокую благодарность и прошу передать большое спасибо всему медицинскому персоналу вверенного вам хирургического отделения за хороший уход и отношение к больным.
А сколько их было. Вот такие врачи работали и работают в Юрьевецкой больнице.
А. В. СИРОТИНА, Т. М. ТЕРЕШИНА, «По тропам памяти людской», 2002 г., стр. 197